Soit \(f(x,y)=x^2y\)
En utilisant une approximation linéaire, estimer \(f(1.2,0.9)\)

On a \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2\)
On a alors : $$\begin{align} f(1.2,0.9)&\simeq f(1.1)+0.2\frac{\partial f}{\partial x}(1.1)-0.1\frac{\partial f}{\partial y}(1.1)\\ &\simeq1+0.2\times2-0.1\times1\\ &\simeq1.3\end{align}$$

Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée du nombre suivant : $$\exp[\sin(3.16)\cos(0.02)]$$

Soit \(f(x,y)=\exp(\sin x\cos y)\)
Alors $$\begin{align} f(3.16,0.02)&\eqsim f(\pi,0)+(3.16-\pi)\frac{\partial f}{\partial x}(\pi,0)+0.02\frac{\partial f}{\partial y}(\pi,0)\\ &\eqsim-(3.16-\pi)+0\\ &\eqsim\pi-2.16\\ &\eqsim0.98\end{align}$$
De plus, comme \(\lvert\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\rvert\leqslant e\) et \(\lvert\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\rvert\leqslant e\), on a \(\lvert f(3.16,0.02)-f(\pi,0)\rvert\leqslant\sup\lVert\operatorname{grad} f\rVert_2\cdot\left|\left|\begin{pmatrix}3.16\\ 0.02\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\pi\\ 0\end{pmatrix}\right|\right|_2=e^{\sqrt2}\times0.02\)

Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée du nombre suivant : $$\arctan[\sqrt{4.03}-2\exp(0.01)]$$

Soit \(f(x,y)=\arctan(\sqrt x-2e^y)\)
On a : $$\begin{align} f(4.03,0.01)&\eqsim f(4,0)+(4.03-4)\frac{\partial f}{\partial x}(4,0)+(0.01-0)\frac{\partial f}{\partial y}(4,0)\\ &\eqsim0+0.03\times\frac14+0.01\times(-2)\\ &\eqsim\frac3{400}-\frac2{100}\\ &\eqsim-\frac1{80}\end{align}$$